Đây là danh sách các ký hiệu đã được sử dụng cho các phép toán.

Tên	Ký hiệu tương đương với H n ( a , b ) {\displaystyle H_{n}(a,b)}	Giải thích
Ký hiệu mũi tên lên Knuth	a ↑ n − 2 b {\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}	Được sử dụng bởi Knuth[3] (cho n ≥ 3), và được tìm thấy trong một số sách tham khảo.[4][5]
Ký hiệu Goodstein	ϕ ( a , b , n − 1 )    với  1 ≤ n ≤ 3 ϕ ( a , b − 1 , n − 1 )    với  n ≥ 4 {\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ với }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ với }}n\geq 4\end{matrix}}}	Được sử dụng bởi Wihelm Ackermann với n ≥ 1)
Hàm Ackermann gốc	G ( n , a , b ) {\displaystyle G(n,a,b)}	Được sử dụng bởi Reuben Goodstein.
Hàm Ackermann	A ( n , b − 3 ) + 3 = H n ( 2 , b ) {\displaystyle A(n,b-3)+3=H_{n}(2,b)}	Điều này tương ứng với các phép toán cho cơ số 2
Ký hiệu Nambiar	a ⊗ n − 1 b {\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}	Được sử dụng bởi Nambiar (với n ≥ 1)[6]
Ký hiệu hộp	a n b {\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}	Được sử dụng bởi Rubtsov và Romerio.
Ký hiệu chỉ số trên	a ( n ) b {\displaystyle a{}^{(n)}b}	Được sử dụng bởi Robert Munafo.
Ký hiệu chỉ số dưới (đối với "các phép toán hạ")	a ( n ) b {\displaystyle a{}_{(n)}b}	Được sử dụng cho các phép toán hạ của Robert Munafo.
Ký hiệu hyperoperation (đối với "các phép toán mở rộng")	a O n − 1 b {\displaystyle aO_{n-1}b}	Được sử dụng cho các phép toán hạ bởi John Donner và Alfred Tarski (với n ≥ 1).
Ký hiệu ngoặc vuông	a [ n ] b {\displaystyle a[n]b}	Được sử dụng trong nhiều diễn đàn trực tuyến, thuận tiện cho ASCII..
Ký hiệu mũi tên xích Conway	a → b → ( n − 2 ) {\displaystyle a\to b\to (n-2)}	Được sử dụng bởi John Horton Conway (cho n ≥ 3)

Bắt đầu từ một (phép cộng)

Năm 1928, Wilhelm Ackermann đã định nghĩa hàm 3 đối số ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} dần dần phát triển thành hàm 2 đối số được gọi là hàm Ackermann. Hàm Ackermann gốc ϕ {\displaystyle \phi } ít giống với dãy phép toán hiện đại, bởi vì điều kiện ban đầu của ông ấy bắt đầu bằng ϕ ( a , 0 , n ) = a {\displaystyle \phi (a,0,n)=a} với mọi n > 2. Ngoài ra, ông đã gán phép cộng cho n = 0, phép nhân cho n = 1 và luỹ thừa cho n = 2, vì vậy các điều kiện ban đầu tạo ra các phép toán rất khác nhau cho tetration và vượt xa hơn.

n	Phép toán	Bình luận
0	F 0 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}
1	F 1 ( a , b ) = a ⋅ b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}
2	F 2 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}
3	F 3 ( a , b ) = a [ 4 ] ( b + 1 ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}	Một dạng bù của tetration. Lặp lại của hoạt động này là khác nhau nhiều so với lặp lại của tetration.
4	F 4 ( a , b ) = ( x ↦ a [ 4 ] ( x + 1 ) ) b ( a ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}	Không được nhầm lẫn với pentation.

Bắt đầu từ 0 (phép successor)

Năm 1984, C. W. Clenshaw và F. W. J. Olver bắt đầu cuộc thảo luận về việc sử dụng các phép toán để ngăn chặn máy tính tràn dấu phẩy động.[7] Kể từ đó, nhiều tác giả khác[8][9][10] đã đổi mới quan tâm đến việc áp dụng các phép toán vào biểu diễn dấu phẩy động. (Vì Hn(a, b) đều được định nghĩa cho b = -1). Trong khi thảo luận về tetration, Clenshaw et al. giả định điều kiện ban đầu F n ( a , 0 ) = 0 {\displaystyle F_{n}(a,0)=0} , điều này tạo ra một hệ thống phân cấp phép toán khác. Giống như trong các biến thể trước đó, phép toán thứ tư rất giống với tetration, nhưng bù lại bằng một.

n	Phép toán	Bình luận
0	F 0 ( a , b ) = b + 1 {\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}
1	F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2	F 2 ( a , b ) = a ⋅ b = e ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}
3	F 3 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}
4	F 4 ( a , b ) = a [ 4 ] ( b − 1 ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}	Một dạng bù của tetration. Lặp lại của hoạt động này là khác nhau nhiều so với lặp lại của tetration.
5	F 5 ( a , b ) = ( x ↦ a [ 4 ] ( x − 1 ) ) b ( 0 ) = 0  if  a > 0 {\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0}	Không được nhầm lẫn với pentation.

Hạ hyperoperation

Một sự thay thế cho các phép toán này có được bằng cách đánh giá từ trái sang phải. Kể từ khi

a + b = ( a + ( b − 1 ) ) + 1 a ⋅ b = ( a ⋅ ( b − 1 ) ) + a a b = ( a ( b − 1 ) ) ⋅ a {\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}}

định nghĩa (với ° hoặc chỉ số dưới)

a ( n + 1 ) b = ( a ( n + 1 ) ( b − 1 ) ) ( n ) a {\displaystyle a_{(n+1)}b=\left(a_{(n+1)}(b-1)\right)_{(n)}a}

với

a ( 1 ) b = a + b a ( 2 ) 0 = 0 a ( n ) 1 = a với  n > 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{với }}n>2\\\end{aligned}}}

Điều này đã được Donner và Tarski mở rộng thành số thứ tự,[11] bởi:

α O 0 β = α + β α O γ β = sup η < β , ξ < γ ( α O γ η ) O ξ α {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{aligned}}}

Đối với a ≥ 2 và b ≥ 1,

a O n b = a ( n + 1 ) b {\displaystyle aO_{n}b=a_{(n+1)}b}

Nhưng điều này phải chịu một loại sụp đổ, không thành lập "tháp mũ" theo truyền thống dự kiến của các phép toán:

α ( 4 ) ( 1 + β ) = α ( α β ) . {\displaystyle \alpha _{(4)}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.}

Nếu α ≥ 2 và γ ≥ 2,

α ( 1 + 2 γ + 1 ) β ≤ α ( 1 + 2 γ ) ( 1 + 3 α β ) . {\displaystyle \alpha _{(1+2\gamma +1)}\beta \leq \alpha _{(1+2\gamma )}(1+3\alpha \beta ).}

n	Phép toán	Bình luận
0	F 0 ( a , b ) = a + 1 {\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}	Phép successor
1	F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2	F 2 ( a , b ) = a ⋅ b {\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}
3	F 3 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}
4	F 4 ( a , b ) = a ( a ( b − 1 ) ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}	Không được nhầm lẫn với tetration.
5	F 5 ( a , b ) = ( x ↦ x x ( a − 1 ) ) b − 1 ( a ) {\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)}	Không được nhầm lẫn với pentation. Tương tự như tetration.

Hyperoperation giao hoán

Các phép toán giao hoán đã được Albert Bennett xem xét vào đầu năm 1914, đó có thể là nhận xét sớm nhất về bất kỳ dãy phép toán nào. Các phép toán giao hoán được xác định bởi quy tắc đệ quy

F n + 1 ( a , b ) = exp ⁡ ( F n ( ln ⁡ ( a ) , ln ⁡ ( b ) ) ) {\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}

đối xứng trong a và b, có nghĩa là tất cả các phép toán đều có tính giao hoán. Dãy này không chứa lũy thừa, và do đó không hình thành một hệ thống phân cấp phép toán.

n	Operation	Comment
0	F 0 ( a , b ) = ln ⁡ ( e a + e b ) {\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)}	Smooth tối đa
1	F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2	F 2 ( a , b ) = a ⋅ b = e ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}	Điều này là do các thuộc tính của logarit.
3	F 3 ( a , b ) = a ln ⁡ ( b ) = e ln ⁡ ( a ) ln ⁡ ( b ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}	Một hình thức giao hoán của lũy thừa.
4	F 4 ( a , b ) = e e ln ⁡ ( ln ⁡ ( a ) ) ln ⁡ ( ln ⁡ ( b ) ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}	Không được nhầm lẫn với tetration.